lunes, 8 de abril de 2013


EL MODELO DE UN AGENTE INTELIGENTE

Como debe proceder un agente: 




EL PROCESO DE RAZONAMIENTO SEGÚN LA LÓGICA


EL RAZONAMIENTO SE COMPONE DE DIVERSOS COMPONENTES:





“Leyes de la lógica de predicados o proposiciones”

Una lógica también debe definir la semántica del lenguaje. Si lo relacionamos con el lenguaje hablado, la semántica trata el «significado» de las sentencias. En lógica. Esta VALOR DE VERDAD definición es bastante más precisa. La semántica del lenguaje define el valor de verdad MUNDO POSIBLE de cada sentencia respecto a cada mundo posible.
La lógica de predicados, llamada también lógica cuantificacional, comienza distinguiendo dos clases de términos: los que representan individuos (gramaticalmente “sujetos”) y los que representan propiedades (gramaticalmente “predicados”). Lógicamente los llamaremos argumentos y predicados respectivamente
El ejemplo anterior no sólo nos muestra el concepto de implicación, sino. También cómo el concepto de implicación se puede aplicar para derivar conclusiones. Es decir: INFERENCIA LOGICA llevas a cabo la inferencia lógica. El algoritmo de inferencia que se denomina comprobación de modelos porque enumera todos los modelos COMPROBACION DE MODELOS posibles y comprueba si a es verdadera en todos los modelos en los que la BC es verdadera. Se dice que un algoritmo de inferencia que se deriva sólo sentencias implicadas es sólido o que mantiene la verdad. También es muy deseable la propiedad de completitud: un algoritmo de inferencia
Es completo si puede derivar cualquier sentencia que está implicada.
La sintaxis de la lógica proposicional nos define las sentencias que se pueden construir. Las sentencias atómicas (es decir. los elementos sintácticos indivisibles) se componen de un único símbolo proposicional. . Cada uno de estos símbolos representa una proposición Que puede ser verdadera o falsa. Utilizaremos letras mayúsculas para estos símbolos: P, Q, K; y siguientes.
A la lógica proposicional también se le denominan Lógica Booleana, por el Matemático George Boole (1815-1864).

validación de un conjunto de sentencias mediante tablas de verdad

Una inferencia es una evaluación que realiza la mente entre expresiones bien formadas de un lenguaje (EBF) que, al ser relacionadas intelectualmente como abstracción, permiten trazar una línea lógica de condición o implicación lógica entre las diferentes EBF. De esta forma, partiendo de la verdad o falsedad posible (como hipótesis) o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas, puede deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras EBF. En un sistema inferencial llamamos inferencias a los procesos mediante los cuales obtenemos una conclusión a partir de unas premisas de forma que el razonamiento sea válido. Una inferencia que siga las reglas será una inferencia correcta, mientras que si no las sigue será una inferencia incorrecta. En varios tratados lógicos podemos encontrar que a la conclusión de se le da el nombre de consecuencia lógica de las premisas.
Formalmente podemos decir que C es una conclusión o consecuencia lógica de las premisas P1, P2, P3, ..., Pn si y sólo si para cualquier interpretación I para la que P1ᶺ P2 ᶺP3ᶺ..ᶺPn es verdadera, C también es verdadera. Se puede demostrar que C es una conclusión o consecuencia lógica de las premisas P1, P2, P3, ..., Pn si y sólo si la sentencia P1ᶺP2ᶺP3ᶺ...ᶺPn-C es una tautología. O bien, si y sólo si la sentencia P1ᶺP2ᶺP3ᶺ...ᶺPnᶺ¬C es una contradicción.

REGLAS DE INFERENCIA MODUS PONENDO PONENS (PP) p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa) p “Llueve” (premisa)__________ q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)


El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q). 

MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT) ‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.
 p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” ¬q “Las calles no se mojan” _________ ¬p 

“Luego, no llueve” Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.

Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente. 

MODUS PONENDO PONENS (PP)

 p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa) p “Llueve” (premisa) _________________ q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)

El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).
 DOBLE NEGACIÓN (DN) MODUS PONENDO PONENS (PP)
 p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa) p “Llueve” (premisa) __________ q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)

El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).
 ¬¬p ↔ p El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:
 ¬¬p “No ocurre que aurora no es una repostera” ___________________ p “Aurora es una repostera ” La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.

ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador Λ (conjunción). p “EDUARDO ES MECÁNICO” q “DANIEL ES ESTUDIANTE” ____________ p Λ q 
“EDUARDO ES MECÁNICO Y DANIEL ES ESTUDIANTE” Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.

p Λ q “Tengo una manzana y tengo una pera” _______________ p “Tengo una manzana” q “Tengo una pera”

 MODUS TOLLENDO PONENS (TP) 

La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.

A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado. 
p V q “He ido al cine o me he ido a la escuela”
¬q “No he ido a la escuela” _________ p “Por tanto, he ido al cine”

LEY DE LA ADICIÓN (LA) Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado. a “He comprado manzanas” b "He comprado mangos" _______ a V b “He comprado manzanas o he comprado mangos”

SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH) Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero. Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica: p → q “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”

q → r “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve” _________ p → r “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”

SILOGISMO DISYUNTIVO (DS) Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.

p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” r → s “Si la tierra tiembla, los edificios se caen” p V r “Llueve o la tierra tiembla” _________ q V s “Las calles se mojan o los edificios se caen”

SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD) Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.
 p V q “Helado de fresa o helado de vainilla”

p → r “Si tomas helado de fresa, entonces repites” q → r “Si tomas helado de vainilla, entonces repites” __________ r Luego, repites

LEY CONMUTATIVA
 Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,
p Λ q ↔ q Λ p “«p y q» equivale a «q y p»” p V q ↔ q V p “«p ó q» equivale a «q ó p»

LEYES DE MORGAN (DM)
 Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:

p Λ q                    p V q
 ___________    ____________ 
¬(¬p V ¬q)            ¬(¬p Λ ¬q)


LA DEMOSTRACIÓN Y SUS MÉTODOS
La demostración consiste básicamente en, a partir de preposiciones dadas llamadas premisas, obtener la proposición llamada conclusión, mediante la aplicación de reglas lógicas.
Los métodos de demostración son modelos o esquemas generales que se encuentran en los procesos deductivos, estos modelos están fundamentados lógicamente en teoremas o reglas de inferencia ya establecidas, se pueden distinguir cuatro métodos de demostración:

 Este método se utiliza para la demostración de implicaciones, y dice así: Sean R y S fórmulas. Si el suponer que R es verdadera, se puede hacer una demostración de que S es verdadera, entonces la implicación R Þ S es una fórmula verdadera.

Justificación: La tabla de verdad del condicional muestra que con antecedente verdadero, hay implicación, sólo en el caso en el que el consecuente es verdadero.
Esquema Operativo General: Para demostrar que una fórmula del tipo
R ÞS es teorema, se procederá así:
Se supone que el antecedente R es verdadero. A R se le llama hipótesis auxiliar.
A partir de la hipótesis, se construye un argumento lógico en el cual se pueden utilizar los axiomas y los teoremas ya probados, mediante la aplicación de las reglas de validez, para llegar a la fórmula S como conclusión o tesis.
En este punto concluye la prueba y queda establecida la verdad de R ÞS.
Esquema operativo general:
Para demostrar que una proposición específica de la forma  es teorema se procede así:
  1. Suponemos como verdadero el antecedente P. Esta la denominamos hipótesis auxiliar.
  2. A partir de la hipótesis construimos una argumentación lógica en la cual podemos utilizar los axiomas y teoremas demostrados para obtener mediante la aplicación de las reglas de validez y de inferencia, la validez de Q.
  3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la validez de .
A modo de síntesis, una demostración de la proposición P-Q por el método directo, tendría este desarrollo esquemático:

Ejemplo

Demuestre que: si a y b son números pares, entonces a + b es número par.
Solución:

Suponga que a y b son números pares, (Hipótesis auxiliar) luego, a = 2n y b = 2m con n, m Î Z .
 Entonces, a + b = 2n+ 2m =2(n + m); (n + m) ÎZ(enteros). Por tanto, si n + m = k; a + b = 2k, es decir, a + b es un número par.

Dadas P, Q y R fórmulas, pruebe que:
(P ÞQ) Þ ((Q Þ R) Þ (P Þ R)) es un teorema.

Solución:
P Þ Q (hipótesis auxiliar)
Q Þ R (hipótesis auxiliar)
P (Hipótesis auxiliar)
Q (RV1 en 1 y 3)
R (RV1 en 2 y 4)
P Þ R (método directo en 3 y 5)
(Q Þ R) Þ (P ÞR) (método directo en 2 y 6)

(P Þ Q) Þ ((Q Þ R) Þ (P Þ R)) (método directo en 1 y 7)
La anterior solución, muestra el esquema de la demostración, donde se hace una aplicación reiterada del método directo ya que lo que se debe probar es una cadena de implicaciones.
A medida que se toman las hipótesis auxiliares, se va desplazando la demostración hacia la derecha, para mostrar que las siguientes afirmaciones están subordinadas a las hipótesis anteriores. Cuando se comienza a establecer conclusiones se vuelve a desplazar la demostración hacia la izquierda, hasta establecer la conclusión definitiva en la teoría original, es decir, aquella donde no hay hipótesis auxiliares.

MÉTODO DEL CONTRARRECÍPROCO.
Se llama contrarrecíproco a una ley lógica, formalizada en los silogismos por Aristóteles, que consiste en la implicación de la negación de un consecuente con la negación de su antecedente.
El teorema del contrarrecíproco http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/images/tabla32cap3.gif da lugar a una variante del método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como método del contrarrecíproco. Este método puede resumirse así: Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/images/pq.gif es teorema y al intentar su demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión deseada. Se procede entonces a demostrar por el método directo su contrarrecíproca , si se consigue este objetivo entonces queda establecida la validez de  al hacer sustitución por equivalencia.
Esquema operativo general
Para demostrar que una proposición específica de la forma  es un teorema se procede así:
  1. Suponemos como hipótesis auxiliar no Q.
  2. Utilizando el método directo construimos una argumentación lógica hasta concluir no P.
  3. Concluimos por el método directo que  es teorema.
  4. La regla de validez 3 nos permite concluir que  es válida mediante la equivalencia del contrarrecíproco.
A modo de síntesis una demostración de la proposición  por este método tendría este desarrollo esquemático:


Demostración por contrarreciproco
Si tenemos que demostrar que una proposición p implica una proposición q (es decir, si se da p, se tiene que dar q), a veces es más sencillo demostrar que si no se da q, entonces no puede cumplirse p. Esto se conoce como demostración por contrarrecíproco o contraposición. Nótese que "p implica q" y "no q implica no p" son proposiciones equivalentes.
Ejemplo
Un ejemplo sencillo: "Demuéstrese que todos los números primos mayores que 2 son impares". Aquí, la proposición p es "n es un número primo mayor que 2" y la proposición q es "n es un número impar". Demostrar que todo número primo mayor que 2 es impar (p -> q) es lo mismo que demostrar que no existe un número par que sea número primo mayor que 2, o equivalentemente, que el único número primo par es 2 (no q -> no p).
Esto es más fácil de demostrar, ya que todo número par se puede escribir como n = 2 × k, donde k es mayor o igual que 1 (la idea de número primo tiene sentido sólo en los números naturales). Si k es igual a 1, tenemos n = 2, número primo. Si, por el contrario, k es mayor que 1, entonces n es mayor que 2, pero no es primo ya que tiene algún factor que no es ni 1 ni él mismo. Así que 2 es el único número primo par, por lo que se ha demostrado que todos los números primos mayores que 2 son impares.

MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO.
Contradicción: Designamos en esta forma, toda proposición correspondiente a la conjunción entre una proposición y su negación.
Teoría contradictoria o inconsistente: Se dice que una teoría es contradictoria o inconsistente, cuando en dicha teoría es posible demostrar una contradicción. En una teoría contradictoria podemos concluir que una proposición es verdadera y falsa a la vez.

Esquema operativo general
Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P es teorema. Por este método procedemos así:
  1. Suponemos la negación de la tesis (no P) como hipótesis auxiliar.
  2. A partir de las premisas de la teoría y de la hipótesis auxiliar se razona por el método directo, hasta obtener como conclusión una contradicción por ejemplo, Q y no Q.
  3. Por el método directo concluimos 
  4. El teorema anterior nos permite concluir del paso 3) la validez de P.





Nota: En la práctica, cuando se usa este método, al obtener una contradicción, inmediatamente se valida la negación de la hipótesis supuesta dando por terminada la prueba.
A modo de síntesis una demostración de una proposición P por este método tendría este desarrollo esquemático.


 Una de las condiciones que debe verificar el conjunto de axiomas, dado para la teoría, es la consistencia. Es decir, a partir de ellos no pueden derivarse, por aplicación de las reglas lógicas, contradicciones, o sea, fórmulas de la forma R Ù Ø R. Esto constituye la fundamentación del método de demostración por reducción al absurdo, el cual puede enunciarse así:

"Si al suponer que la proposición
 Ø P es un teorema, se puede establecer como teorema una proposición contradictoria, entonces el supuesto Ø P es falso, es decir, la proposición P es un teorema". 
Justificación:
 

1.
 Ø P Þ R Ù Ø R método dir.

2.
 Ø P Þ Ø  R Ú Ø Ø R) def. de Ù en 1.

3.
 Ø R Ú Ø Ø R Þ P contrar. en 2.

4. P RV1 en 3.


Procedimiento para la Aplicación del Método. Suponga que se va a demostrar que P es teorema por aplicación del método de reducción al absurdo, entonces, se siguen los siguientes pasos:
  • Suponga que Ø P es verdadero.
  • A partir de esta hipótesis se razona lógicamente hasta obtener como conclusión la conjunción de una fórmula con su negación.
  • Por el método de reducción al absurdo, se concluye que P es teorema.

Ejemplo: Utilizando el método de reducción al absurdo, demostrar que el número real http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/imagenes/r2.gifes irracional.

Solución:


Suponga que http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/imagenes/r2.gifno es irracional, luego es racional y por tanto http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/imagenes/r2.gif = p/q, q ¹ 0, p, q Î Z y p, q primos relativos.

2 = p2/q2, 2q= p2, de donde pes número par y por lo tanto lo es p, esto es p = 2k, k Î Z, entonces p= 4k2. Se concluye, entonces, que 2q= 4k2; q= 2k2, q2 es número par, luego q es un número par.

Luego p y q tienen factor común 2. ¡Absurdo! puesto que p y q son primos relativos. Por tanto,http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/imagenes/r2.gif es número irracional.

 MÉTODO DE CASOS. (SILOGISMO DISYUNTIVO).
La regla de inferencia de ese nombre da lugar a este método de demostración, casi de forzosa utilizacióncuando la hipótesis o una de las hipótesis es una disyunción de dos o más proposiciones, en cuyo caso procedemos así:
  1. Suponemos la hipótesis dada correspondiente a una disyunción.
  2. A partir de cada una de las proposiciones que integran la disyunción se obtiene una conclusión parcial por el método directo.
  3. Se concluye finalmente la disyunción de las conclusiones parciales.
Esquema operativo general
Supongamos que se fuera a demostrar que un esquema de la forma  es teorema. Bajo este método procedemos esquemáticamente así:





Ejemplo:
Demostrar el siguiente teorema: Para a, b números reales, si a = 0 ó b = 0 entonces a.b = 0
1. Supongamos a = 0 ó b = 0 Hipótesis auxiliar 1
2. Supongamos: a = 0 Hipótesis auxiliar 2
3. a.b = 0.b Ley uniforme del producto en 2
4. 0.b = 0 Teorema en el conjunto de números reales
5. a.b = 0 Transitividad en la igualdad de 3. y 4.
6. Método directo 2....5.
7. Supongamos: b = 0 Hipótesis auxiliar 2
8. a.b = a.0 Ley uniforme del producto en 7
9. a.0 = 0 Teorema en el conjunto de los números reales
10. a.b = 0 Transitividad en la igualdad 8.y 9.
11.  Método directo 7....10.
12. a.b = 0 Método de casos de 1., 6. y 11.(Regla de inferencia )
13. Método directo






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